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By Jacek Gilewicz (auth.)

ISBN-10: 3540089241

ISBN-13: 9783540089247

ISBN-10: 3540357521

ISBN-13: 9783540357520

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32] : sont bien connues (i) /b~ est A v a r i a t i o n born~e et (ii) "F- et /L4 F est continue. sont A v a r i a t i o n born~e et n'ont pas de point de dis- c o n t i n u i t 6 communo La premi6re de ces conditions donne l i e u ~ un d@veloppement classique qui associe les fonctions ~ v a r i a t i o n s born@es sur [ ~ ] aux mesures du type de Radon d@finies sur cet i n t e r v a l l e . Les lignes essent i e l l e s de cette construction sont les suivantes : L'espace C°C~)~]) F~C ° , pour laquelle ~ Co est muni de la norme de la convergence uniforme IIFII: M~ IF(~)I est un espace de Banach, Le dual topologique de C° est nots C °) nique sur ces deux espaces est notre < ' ) ' > et la forme b i l i n ~ a i r e cano: (F,~)~C°×C ' _ , > ~ [R L'espace C °~ i est muni de la norme : ~C °'~ > II~II'=S~__ norme pour laquelle i l est l u i m6me un espace de ) Banach (topologie f o r t e ) Toutes ces notations ~tant en place on peut v o i r ais~ment que pour /A~ F~C °, donn~e dans ~ la f o n c t i o n n e l l e > I Fc~)a/~(~) est lin@aire et continue sur C o de sorte q u ' e l l e est un @l@ment de C ~.

Le th~or~me i i (th~or~me d ' i n t e r p o l a t i o n de Bernstein) auquel nous avons pu, grace au c o r o l l a i r e 10, a j o u t e r l ' u n i c i t ~ . L'~tablissement du p r i n c i p e du prolongement de t o t a l e monot o n i e et la d~termination de l ' i n t e r v a l l e (cf. maximal de t o t a l e monotonie th~or~me 12). Au paragraphe 3 : Signalons le th6or~me 15, qui montre sous q u e l l e s conditions les f o n c t i o n s F ~ ( o~ r~el p o s i t i f sont totalement monotones si F l'est.

En definissant F ( ~ ) = : E(~+@on obtient ce qui complete la demonstration de ( i i i ) . [. ~(~_o') ,,,,. converge certainement pour tout Or. tel que IOC-CJCoI< ~ - a ( ~ o l car F y est analytique, et tous ses termes sont p o s i t i f s ou nuls d e n s ] ~ 3 c o - ~ , ~ [ . De la meme felon on constate que les fonctions G i ) ~ F ('] sont positives ou nulles d a n s ] ~ C o - ~ ) ~ [ , ce qui prouve que F est totalement monotone dens cet i n t e r v a l l e . Etant donne que < 2 o- < on peut maintenant repeter ce raisonnement pour le point Oco=~-( et montrer que F est totalement monotone d a n s ] ~ - ~ ) ~ [ .

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