Robert Sauer's Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen PDF

By Robert Sauer

ISBN-10: 364252799X

ISBN-13: 9783642527999

ISBN-10: 3642528007

ISBN-13: 9783642528002

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der paintings dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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H. die so ermittelten Flächenkurven sind Charakteristiken. Als wichtige Folgerung ergibt sich weiter: c) Wenn eine Charakteristik einen Punkt mit einer Integralfläche gemeinsam hat, gehört sie ihr ganz an. 3. Anfangswertproblem. Wir behandeln nun folgende Anfangswertaufgabe: Gegeben ist eine Raumkurve k ("Anfangskurve") durch x (t), y (t), f (t) oder, was dasselbe ist, ihre Grundrißkurve k' durch x (t) , y (t) samt Wertebelegung f (t) . = 0 gelten und die Kurve k' soll doppelpunktfrei sein, damit mehrdeutige Lösungen ausgeschlossen werden.

Z. B. R. SAUER: Einführung in die theoretische Gasdynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1951. § 6. HyperbolischeDifferentialgleichungen in der Gasdynamik undAkustik. 27 eine Größe a, die wir alsbald als Schallgeschwindigkeit (= Ausbreitungsgeschwindigkeit einer kleinen Störung) erkennen werden. Der Satz von der Erhaltung des Impulses liefert die Bewegungsgleichung db -dt = Ot + U Oa; + v Oy + W Oz = - a2 1 -(! gradp = - -(! 3) und der Satz von der Erhaltung der Masse die Kontinuitätsgleichung Qt + div(QtJ) = O.

10) 1(5) - S I(A) = ~ A, r B = ~ A, r § 5. Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen. oder 1(5) = I(A) B 1 ( r B + J; 1 = I(A) + 7 J; ---;r 2h. 8) Hierdurch ist der Funktionswert in einem Gitterpunkt 5 durch Funktionswerte in dem (in Abb. 10 wieder schraffierten) Abhängigkeitsbereich dargestellt. Beim Grenzprozeß h -+ soll nun das Punktepaar AB der x-Achse festgehalten und die Gitterfolge Gh wieder durch Halbieren, Dritteln usw. der ursprünglichen Maschenweite gebildet werden. Außerdem wird auf AB eine zweimal stetig differenzierbare Funktion I (x) und eine stetig differenzierbare Funktion r(x) vorgegeben.

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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer


by Richard
4.2

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