Algèbre commutative [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir PDF

By Antoine Chambert-Loir

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Une inclusion est évidente : si P = (X 1 − a1 )P1 + · · · + (X n − an )Pn , ϕ(P) = 0. Soit inversement P ∈ K [X 1 , . . , X n ]. 7. IDÉAUX MAXIMAUX 39 euclidienne de P par X 1 − a1 par rapport à la variable X 1 , il existe un polynôme P1 et un polynôme R1 ∈ K [X 2 , . . , X n ] tel que P = (X 1 − a1 )P1 + R1 (X 2 , . . , X n ). Continuons le procédé en divisant par X 2 − a2 , etc. : il existe des polynômes P1 , . . , Pn , Pi ne faisant intervenir que les variables X i , . . , X n , et un polynôme constant Rn , tels que P = (X 1 − a1 )P1 + · · · + (X n − an )Pn + Rn .

Démonstration. — Il existe des sous-modules de M qui contiennent X , par exemple M lui-même. Par suite, l’intersection 〈X 〉 de ces sous-modules est un sous-module de M et contient X . Par construction, 〈X 〉 est contenu dans tout sous-module de M qui contient X . C’est ainsi le plus petit d’entre eux. Si (ax )x est une famille presque nulle d’éléments de A, x∈X xax est une combinaison linéaire d’éléments de 〈X 〉, donc appartient à 〈X 〉. Ceci prouve que l’ensemble 〈X 〉 des telles combinaisons linéaires est contenu dans 〈X 〉.

On peut donc affirmer que l’anneau S −1 A est nul si et seulement si 0 appartient à S. Cela justifie a posteriori l’interdiction de diviser par zéro : si l’on s’autorisait cela, les règles du calcul de fractions rendraient toute fraction égale à 0 ! b) La définition de la relation d’équivalence dans la construction de l’anneau localisé peut sembler surprenante puisqu’elle est plus faible que l’« égalité du produit en croix » at = bs. Lorsque l’anneau est intègre et 0 ∈ S, ou plus généralement lorsque tous les éléments de S sont simplifiables, c’est équivalent.

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by Donald
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